利用一题多解，培养发散思维

来源:中国教师 作者:张军

        山东省潍坊市工程技师学院  张军

在进行数学复习时，如何选择典型例题作为课堂解题示范，是一个值得探讨的问题。本人认为：“山不在高，有仙则灵”。“题不在多，精选则行。”应尽可能的精选那些可引导学生进行多向思维，把所学的各方面的知识有机的联系起来，既可巩固基础知识，又可逐步培养发散思维的一题多解的题型。
例如：若实数x、y满足x²+y²-2x+4y=0,求x-2y的最值。
  解法一：（判别式法）令u=x-2y,将x=u+2y代入
x²+y²-2x+4y=0   可整理成关于y的二次方程：  5y²+4uy+(u²-2u)=0
∵y∈R    ∴△=（4u）²-20(u²-2u)≥0
从而0≤u≤10   故u_min=0,  u_max=10
解法二：（几析几何法）由x²+y²-2x+4y=0配方得
         （x-1)²+(y+2)²=5,  令x-2y=u,则y=x-
        于是原题转化为：当直线 y=x-与圆(x-1)²+(y+2)²=5
        有公共点时直线y=x-在y轴上的截距的最值，显然
        当直线y=x-与圆相切时，-有最大或最小值时，而
        相切时，圆心C(1,-2)到直线x-2y-u=0的距离等于半径，
即u=0或u=10
故u_min=0, u_max=10.
解法三：（三角代换法）  由x²+y²-2x+4y=0得（
       联想到cos²θ+sin²θ=1,为此令cos,=sinθ,则
       x=1+cosθ,   y=-2+sinθ,     ∴   u=x-2y
       =5+cosθ-2sinθ=5+5cos(θ+φ）
       故u_min=0,     u_max=10.
解法四：（复数法）由x²+y²-2x+4y=0  得  (x-1)²+(y+2)²=5, 将此方
程看作复平面上以复数1+2i对应的点为圆心，以为半径的
圆。又由2(x-2y)=x²+y²   知x-2y=(x²+y²)= 于是问
题的关键转化为：在圆(x-1)²+(y+2)²=5上找一点M,使复数x+yi
的模最大或最小。  如图
          由此易知：
         
∴（x-2y)_min=0,    (x-2y)_max=  
仅是一道例题，难度也不大，但从不同的角度进行多向思维，综合运用了代数、解析几何、三角等诸多知识，把多种知识有机而巧妙的联系起来，使各个知识点得到了很好的复习与运用，许多学生深受启迪，教学取得了良好的效果。
因此，在复习课的教学中应精选题型，精讲精练，注意有意识、有目的地对知识进行纵横联系，正确引导学生进行多向思维，一题多解，使学生产生丰富的联想，从而使知识不断得到深化，培养他们的发散思维。