数形结合思想在高中数学中的运用价值剖析和解题思路

来源:中小学教育 作者:张娜娜

山东省高密市第一中学   

摘  要：数形结合思想于数学教学中具有很高的指导意义、应用价值，对于帮助学生构建解题思路具有支持作用。为此，本文剖析了其运用价值和解读了其解题思路，期待对增强高中数学教学质量具有参考和借鉴作用。

关键词：数形结合；高中数学；运用方法；解题思路

数形结合思想对于具有较高的实践价值，而结合集合问题统计问题、向量问题、统计问题进行具体分析对于高中数学的教学意义重大。对其价值与解题思路的剖析具体如下。

1  运用价值剖析

1.1理解数学问题

数字与图形，是两个不能完全独立的知识体系。数字是阐释图形结构的一个可控参量，图形是解释数字问题的一个形象视域。当这两个不同的数学概念有效结合，数学问题的理解程度将会更为深刻。在高中数学教育中，用数形结合思想去设置课堂问题，能够帮助学生理清问题规律，可以增强数学知识的解释效果，从而达到深刻记忆和有效运用的积极效果。

1.2启发数学思维

思维发展并非一蹴而就，而数形结合的思想，恰恰是数学思维形成中必不可少的组成元素。数学思维即是解题经验，也是长期以来形成的数学知识认知规律。而教师当“故意”用这一数学思维来讲解习题，帮助学生构建完整数学思维。图形题用计算变量去分析，计算题用图形结构去解读，从而充分运用数形结合思想，解释各种难以理清的问题，获得“启发”的积极效果。

2  解题思路解读

2.1集合问题的应用

集合问题是高考中的“常客”，亦是极为抽象的数学问题。而在讲解习题中融入该数学思想，能够协助学生化抽象为形象，增强对于集合问题的主观认知。例题1：集合中A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，求集合A的所有子集元素之和的总和。在这道题中，三元子集共c(10，3)=120个，每个子集共3个元素，所有子集共120x3=360个元素。 A集合中有10个元素，所以集合中的每个元素都会在计算时出现36次，那么就可以推导出（1+2+3+…+10）x36=1980。而当进行数形结合思维的渗透时。可以先画出A集合的代表图形，用空心的圆形来表示A集合。其中的每个数字都标注在圆形中，然后再将子集合c(10，3)=120个用实心圆形标注，作为解释集合关系，而后再计算每个元素36次的求和过程，也就能够用图形思维清晰地描述问题。那么学生理解这一部分知识点也会更为容易，形成更强清晰的数学思维。

2.2统计问题的应用

学习统计学知识的过程中，列数据表格和绘制数据走势图同等重要。如果学生只会用数字表示统计学规律，则难以直观地发现数据提高或降低的形成规律。而教学在讲解统计问题的相关习题时，也有必要运用数形结合思想，来锻炼学生综合运用数字和图形去表达统计学规律。例题2：我们高中校有40个班级，每个班集体中有50名同学，如果每个班级选择派出3名同学参加“学生代表大会”，那么这个问题中的样本容量则为多少。根据题意可知，属于分层抽样的统计学问题，每个班中随机抽三人的情况下，总共40个班级则一共选出了120人的数据组成统计样本，所以样本容量只能是120人。这道题也可以用饼形图画出每个班级参加代表大会的占比，再去求得总样本数。也可以用柱形图去表示学生代表大会的总人数，同样可以求得数据样本量。所以，计算方法并不完全固定，数学结合的拓展思路反而可以帮助学生建构解题思维，也是形成数学思维的重要教学方式。

2.3向量问题的应用

向量问题本身就是数形思想的主要表现形式，在高中数学解题训练中，通常都可以将向量问题与数学结合思想联系到一起。

例题3：已知O为坐标原点，点A(－1,1)，若点M（x，y）为平面区域的已知条件是动点（X+Y）>2，X<1，Y<2，此时向量OA→·OM→ 的取值范围是多少。这道题看似是简单的数字推导问题，但是如果不画出向量图，很容易混淆其中的已知条件。那么在计算过程中，可以先画出不等式组表示的平面区域，从而推导出又OA→·OM→＝－X＋Y，取目标函数Z=－X＋Y，即Y＝X＋Z，作斜率为1的一组平行线。所以，当它经过点C（1,1）时，Z有最小值－1＋1＝0；当它经过点B（0,2）时，Z有最大值－0＋2＝2。所以，Z的取值范围是[0,2]，即OA→·OM→ 的取值范围是[0,2]。同画图可以顺利理清题目中的向量关系，对于学生理解题意具有很大帮助，显然也是构建数学思维的必要教学方式。

3 结语

综上所述，数形结合这一数学思想在中等教育阶段的运用价值最重要的一点是体现在用数形结合思想去理解数学问题，用数形结合思想去启发学生的数学思维。在具体的教学过程中，可以针对集合问题、统计问题、向量问题应用该数学思想，从而有效实现学科思维的发展与培养。

参考文献：

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